Zadanie 1

Zapisz iloczyn z zadania jako potęgę o podstawie 2.

Skorzystaj z własności:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

${\left()a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

Zadanie 2

Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej i zapisz podane wyrażenie bez użycia symboli wartości bezwzględnej.

Zadanie 3

Oznacz jako niewiadomą początkową cenę spodni.

Zapisz cenę spodni kolejno po pierwszej i po drugiej podwyżce i zapisz odpowiednie równanie

albo

możesz również sprawdzić odpowiedzi podane w zadaniu, która z nich spełnia warunki zadania.

Zadanie 4

Skorzystaj z definicji logarytmu i oblicz wartości logarytmów z zadania.

albo

zauważ, że logarytmy z zadania mają takie same podstawy.

Skorzystaj z własności logarytmów:

$p\cdot {\log }_{a}b={\log }_a{b}^p$

${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(b\cdot c)$

Zadanie 5

Żeby pokazać, że liczba przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $2$, trzeba tę liczbę zapisać w postaci $4k+2$, gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną.

Przypomnijmy, że kolejne liczby naturalne nieparzyste różnią się o $2$ i liczby z zadania można zapisać w postaci: $2n+1,2n+3$, gdzie $n$ jest dowolną liczbą naturalną.

Skorzystaj z wzoru skróconego mnożenia: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Zadanie 6

Wykonaj działania w zadaniu, uporządkuj otrzymane jednomiany.

Pamiętaj, że dodawać i odejmować można tylko jednomiany podobne.

Zauważ, że przed ostatnim nawiasem jest znak minus.

Zadanie 7

Przypomnijmy, że dzielenie $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$ zapisujemy jako iloczyn $\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$ (przy odpowiednich założeniach).

Zadanie 8

Skorzystaj z wzoru skróconego mnożenia ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$.

Po wykonaniu działań otrzymasz równanie kwadratowe.

Zauważ, że w zależności od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego – delty – równanie kwadratowe ma różną liczbę rozwiązań.

Zadanie 9

Zauważ, że nierówność z zadania jest kwadratowa.

Naszkicuj pomocniczy wykres funkcji $y=-x^2+6x-5$

Przypomnijmy, że gdy we wzorze funkcji kwadratowej $y={ax}^2+bx+c$ współczynnik $a<0$, to ramiona paraboli zwrócone są do dołu.

Zadanie 10

Rozwiąż podaną nierówność, np. pomnóż obie jej strony tak, aby usunąć mianowniki.

Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc obustronnie nierówność przez liczbę ujemną, trzeba zmienić zwrot tej nierówności.

Zadanie 11

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie $x^2-49=0$ ma dwa rozwiązania: $x=7$, $x=-7$. Nie zapomnij o rozwiązaniu: -7.

Zadanie 12

Przypomnijmy, że wykres funkcji liniowej $y=ax+b$ przecina oś $\mathrm{OY}$ w punkcie o współrzędnych $(0,b)$, a oś $\mathrm{OX}$ w punkcie $(x_0,0)$, gdzie $x_0$ to miejsce zerowe danej funkcji liniowej.

Miejsce zerowe funkcji liniowej $y=ax+b$ można obliczyć ze wzoru $x_0=-\frac{b}{a}$.

Zadanie 13

Odczytaj miejsca zerowe z postaci iloczynowej, w jakiej przedstawiony jest wzór funkcji.

Zauważ, że ramiona paraboli będącej wykresem danej funkcji są zwrócone do góry.

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem danej funkcji.

Przypomnijmy wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli w zależności od miejsc zerowych funkcji kwadratowej, której wykresem jest dana parabola: $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Drugą współrzędną wierzchołka paraboli q możesz obliczyć jako $q=f\left(p\right)$.

Sporządź pomocniczo wykres paraboli, zaznacz miejsca zerowe i wierzchołek paraboli.

Zadanie 13.1

Żeby odczytać przedział, w którym funkcja kwadratowa jest malejąca potrzebna jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli oraz informacja, jak zwrócone są ramiona paraboli.

Szukany przedział odczytujemy z osi OX.

Zadanie 13.2

Żeby odczytać zbiór wartości danej funkcji potrzebna jest druga współrzędna wierzchołka paraboli oraz informacja, jak zwrócone są ramiona paraboli.

Narysuj prostą równoległą do osi OX i przechodzącą przez wierzchołek paraboli.

Odczytaj z osi OY zbiór wartości.

Zadanie 13.3

Zadanie 14

Zauważ, że w proponowanych odpowiedziach funkcja kwadratowa przedstawiona jest w postaci kanonicznej albo w postaci ogólnej.

W przypadku wzoru zapisanego w postaci ogólnej możesz skorzystać z wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli.

Zadanie 15

Przypomnijmy, że w ciągu geometrycznym iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ jest stałą liczbą.

Zadanie 16

Skorzystaj z informacji, że dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ prawdziwa jest równość: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ dla $n\ge 2$.

Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ prawdziwa jest równość: ${\left(a_n\right)}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ dla $n\ge 2$.

Zadanie 17

Zacznij od wyznaczenia różnicy ciągu arytmetycznego z zadania.

Przypomnijmy:

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ($a_n$), określonego dla $n\ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$:

$a_n=a_1+(n-1)r$

(z: Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, CKE)

Zadanie 18

Skorzystaj z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Zadanie 19

Zauważ, że proste $k$ i $l$ są równoległe, możesz zastosować w zadaniu twierdzenie Talesa.

Zadanie 20

Narysuj półproste $DF$ oraz $AB$, punkt przecięcia tych półprostych oznacz jako np. $G$.

Zauważ, że trójkąty $FCD$ i $GBF$ są przystające – musisz to uzasadnić powołując się na odpowiednią cechę przystawania trójkątów.

Zastosuj dla trójkąta $AGD$ twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków w trójkącie.

Zadanie 21

Sporządź odpowiedni rysunek, zaznacz na nim wysokość trapezu tak, aby otrzymać trójkąt prostokątny o kącie ostrym $\alpha$.

Przypomnijmy wzór na pole trapezu o podstawach $a$, $b$ i wysokości $h$: $P=\frac{a+b}{2}\cdot h$.

Zadanie 22

Zauważ, że odcinek $AB$ jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu, a środek tego odcinka jest środkiem okręgu.

Równanie okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ zapisujemy wzorem:${(x-a)}^2+{(x-b)}^2=r^2$.

Zadanie 23

Skorzystaj ze wzoru na miejsce zerowe funkcji $y=ax+b$, czyli $x_0=-\frac{b}{a}$.

Zauważ, że jeśli wykres funkcji przechodzi przez dany punkt, to współrzędne tego punktu po podstawienie w miejsce odpowiednich zmiennych we wzorze funkcji dają równość

albo

sprawdź, który wzór funkcji z proponowanych odpowiedzi spełnia warunki zadania.

Zadanie 24

Rozwiąż układ równań złożony z prostych podanych w zadaniu.

Zadanie 25

Zwróć uwagę, że graniastosłup jest prawidłowy trójkątny – podstawą tego graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 26

Przypomnijmy, że kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w trójkącie równoramiennym będącym przekrojem osiowym stożka.

Tworząca stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka z brzegiem jego podstawy.

Zadanie 27

Zauważ, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny – w podstawie ma kwadrat, a jego ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.

Zaznacz na rysunku ostrosłupa z zadania wysokość jednej ze ścian bocznych, a następnie trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów jest kąt, o którym mowa w zadaniu, a dwoma bokami wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej.

Zwróć uwagę, że do policzenia jest pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

Zadanie 28

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 29

Zwróć uwagę, że losujemy bez zwracania.

Możesz narysować tabelkę przedstawiającą wyniki tego losowania.

Zadanie 30

Przypomnijmy wzór na średnią ważoną:

Średnia ważona $s$ z liczb $a_1,a_2,...,a_n$, którym przypisano dodatnie wagi - odpowiednio: $w_1,w_2,...,w_n$, jest równa:

$s=\frac{w_1\cdot a_1+w_2\cdot a_2+...+w_{\mathrm{n}}\cdot a_{\mathrm{n}}}{w_1+w_2+...+w_n}$

(z: Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, CKE)

Zadanie 31

Przyjmij, że $x$ to liczba podwyżek o 5 zł.

Zapisz funkcję przedstawiającą miesięczny zysk za pomocą zmiennej $x$.

Oblicz argument, dla którego otrzymana funkcja przyjmuje wartość największą.

Pamiętaj o założeniach.